SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
PHÚ YÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Năm học : 2012 – 2013
Môn thi : Toán
Thời gian : 150 phút
( Không kể thời gian phát đề)


ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)


Họ và tên thí sinh
Số báo danh
Chữ kí


Câu 1: ( 5,0 điểm)
Cho
. So sánh A và B?
Tính giá trị biểu thức:
.
Cho
. Chứng minh rằng:

Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình :
.
Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :
.

Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N.
Chứng minh rằng :

Xác định vị trí điểm Q để

Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE.
Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện :


----------------- Hết ---------------
Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm.





ĐÁP ÁN THAM KHẢO

Câu 1: ( 5,0 điểm)
a) Cho
. So sánh A và B?
b) Tính giá trị biểu thức:
.
c) Cho
. Chứng minh rằng:

Giải: a) Ta có :




Mà

Nên
hay A > B.
b) Tính giá trị biểu thức:
.





c)Cho
. Chứng minh rằng:
Mình chưa biết giải, bạn nào biết chỉ giúp. Nhưng mình kiểm tra thấy đề không đúng.
Cho

Thì
( Thỏa mãn đẳng thức)
Nhưng


Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình :
.

ĐKXĐ :

Đặt
thì






. Vậy


Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :
.
* Điều kiện xác định :
.
( Nếu
thì
: PTVN
Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm.
(Nếu
Chia 2 vế phương trình (1) cho
. Ta có :



Đặt
thì



+ Với
thì

Thay vào (**). Ta có :




Với
( thỏa mãn ĐKXĐ)
Với
( thỏa mãn ĐKXĐ)
+ Với
thì
. Thay vào (**). Ta có :


: Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm :
và


Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N.
Chứng minh rằng :

Xác định vị trí điểm Q để

GIẢI:
Gọi
.
Ta có:
. (1)
Mặt khác : Áp dụng định lí Talet. Ta có:

(2)
Vì MI // AC nên
(3)
Vì


(g-g)

mà
nên
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4). Suy ra :

Hay

b) Từ câu a. Ta có :


.
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm.
Ta có :
.
Dấu “ = ” xảy ra khi CI = IH = HB.
Đẳng thức xảy ra khi Q là trung điểm của BC
và







Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) .